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ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー １０．２ 全微分 Ｘ＝Ｓｃｏｓα において、Ｓもαも変化した場合の微分は全微分です。
変化は、 ですから、両辺に∂αを掛けると、 ∂Ｘ＝−Ｓｓｉｎα・∂α となりますね。 ここで、∂をｄと書きなおすと、 ｄＸ＝−Ｓｓｉｎα・ｄα となります。
ｄＸ＝ｃｏｓα・ｄＳ となりますね。
これらの和になりますから、 ｄＸ＝−Ｓｓｉｎα・ｄα＋ｃｏｓα・ｄＳ です。 これが、Ｘ＝Ｓｃｏｓα の全微分なのです。
とおきますと、 と書くこともできます。
ここで、関数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の場合に、その全微分を図に表してみます。
図９．１ 点Ｐにおける接平面 ※ＷＥＢ数学講義 松田 克己様の図を参考にしました。
図９．２ 接平面上の点Ｐ付近をルーペで拡大
図９．３ 点Ｐと点Ｐ’の関係（ルーペで拡大したところ）
図９．３において、Ｐ’Ｃ＝Ｐ’Ｄ＋ＤＣ＝ＡＢ＋ＦＥ つまり、 となりますね。
（１）ｚ＝３ｘ２＋５ｙ３ を全微分せよ。 ∂ｚ/∂ｘ＝６ｘ ∂ｚ/∂ｙ＝１５ｙ２ ですから、 となります。 99.5.15 ※たかだよ様からの指摘で誤りを訂正
∂ｙ/∂α＝Ｓｃｏｓα ∂ｙ/∂Ｓ＝ｓｉｎα ですから、 ｄｙ＝Ｓｃｏｓα・ｄα＋ｓｉｎα・ｄＳ となります。
りょうかん：どうですか？ 宮城：先生、意外と簡単ですね。これなら、わたしもやれそうです。 りょうかん：でしょう。慣れると楽しくなりますよ。 豊倉：なんだか、微分のプロになったみたいだな。 りょうかん：これからもコツコツ勉強してくださいね。 次回は、最小二乗法です。 これでおわります。 |
